Лекции. Базовый поток
Осенний семестр
| Дата | Содержание | Конспект лекций |
| Программа курса | ||
| 07.09.2021 | Кратные интегралы. Двойной интеграл. Мотивировка к определению двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Классы интегрируемых функций. Теорема Фубини | Лекция 1 конспект |
| 08.09.2021 | Примеры вычисления двойных интегралов. Свойства двойных интегралов. Физический и геометрический смысл двойных интегралов. Тройные интегралы | Лекция 2 конспект |
| 14.09.2021 | Тройные интегралы (продолжение): классы интегрируемых функций, свойства тройного интеграла, геометрический и физический смысл тройного интеграла, сведение тройного интеграла к повторному, Теорема 1 (Фубини), Теорема 2 (Фубини). Замена переменных в кратных интегралах. Геометрический смысл Якобиана дифференцируемого отображения | Лекция 3 конспект |
| 15.09.2021 | Геометрический смысл Якобиана дифференцируемого отображения (продолжение). Замена переменных в двойном интеграле. Пример: полярные координаты на плоскости. Свойства замены переменных. Примеры | Лекция 4 конспект |
| 21.09.2021 | Замены переменных в тройном интеграле. Пример: сферическая система координат. Несобственные кратные интегралы. Несобственные интегралы по неограниченной области. Несобственные интегралы по ограниченной области. Примеры | Лекция 5 конспект |
| 22.09.2021 | Вычисление интеграла Пуассона. Некоторые приложения и свойства Гамма-функции и Бета-функции. Примеры | Лекция 6 конспект |
| 28.09.2021 | Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл 1-го рода. Кривая на плоскости и в трехмерном пространстве. Параметризация кривой. Примеры. Длина кривой | Лекция 7 конспект |
| 29.09.2021 | Криволинейный интеграл 1-го рода (продолжение). Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Геометрический и физический смысл. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Примеры. Криволинейный интеграл 2-го рода. Ориентация кривой. Определение криволинейного интеграла 2-го рода. Физический смысл | Лекции 8 и 9 конспект |
| 05.10.2021 | Криволинейный интеграл 2-го рода (продолжение). Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Примеры. Формула Грина | Лекция 10 конспект |
| 06.10.2021 | Доказательство формулы Грина. Интегралы, не зависящие от пути. Три эквивалентных утверждения и их доказательство. Вычисление интегралов, не зависящих от пути. Формула Пуанкаре | Лекция 11 конспект |
| 12.10.2021 | Интегралы, не зависящие от пути (продолжение). Восстановление функции по дифференциалу. Примеры. Поверхностный интеграл 1-го рода. Поверхности в трехмерном пространстве. Примеры. Площадь поверхности | Лекция 12 конспект |
| 13.10.2021 | Поверхностные интегралы 1-го рода (продолжение). Примеры вычисления площади поверхности. Вычисление площади поверхности, заданной явно. Определение поверхностного интеграла, 1-го рода. Случай недифференцируемой параметризации. Свойства и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода. | Лекция 13 конспект |
| 19.10.2021 | Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода (продолжение). Ньютонов потенциал. Вычисление интеграла Гаусса. | Лекция 14 конспект |
| 20.10.2021 | Поверхностный интеграл 2-о рода. Нормаль к поверхности. Случай явного задания поверхности. Примеры. Ориентация поверхности. Примеры. Определение поверхностного интеграла 2-го рода. Свойства и физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. | |
| 26.10.2021 | Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному интегралу. Пример. Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. Вычисление объема с помощью поверхностного интеграла 2-го рода. Пример. |
|
| 27.10.2021 | Формула Остроградского-Гаусса. Пример. Интеграл Гаусса. Формула Стокса. |
|
| 09.11.2021 | Криволинейные интегралы в пространстве, не зависящие от пути. Примеры. Элементы векторного анализа. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция. |
|
| 10.11.2021 | Циркуляция. Формула Стокса. Ротор. Потенциальное поле. Соленоидальное поле. Задача о нахождении векторного потенциала соленоидального поля. |
|
| 16.11.2021 | Соленоидальные поля Уравнения Максвелла |
|
| 17.11.2021 | Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах. Коэффициенты Ламе. Пример: уравнение Лапласа в сферических координатах. |
|
| 23.11.2021 | Уравнение Лапласа в сферических координатах (продолжение) Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах Дифференциальные формы Внешние формы. Дифференциальные формы. Внутреннее умножение формы на вектор. Дифференциалы форм. |
|
| 24.11.2021 | Дифференциальные формы (продолжение). Формула Стокса. Формула Остроградского-Гаусса. Замена переменных в формах. Ориентированные пространства. Интеграл по поверхности в \(\mathbb{R}^3\). Дифференциальные уравнения. |
|
| 30.11.2021 | Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (продолжение). Символический метод. Теорема о структуре решения ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Пример. | |
| 01.12.2021 | Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами. Продолжение. Примеры. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения (НЛДУ) с постоянными коэффициентами n-го порядка. Случай НЛДУ с правой частью специального вида. | |
| 07.12.2021 | НЛДУ с правой частью специального вида (продолжение). Примеры. Линейные уравнения и колебательные явления. Явление резонанса. | |
| 08.12.2021 | Линейные однородные уравнения 2-го порядка. Теорема существования и единственности для задачи Коши. Определитель Вронского. Теорема Лиувилля. Линейные неоднородные уравнения 2-го порядка. Множество решений ЛНУ 2-го порядка. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). |
|
| 14.12.2021 | ЛНУ 2-го порядка (продолжение). Линейные уравнения высших порядков. Системы ЛУ с постоянными коэффициентами. |
|
| 15.12.2021 | Системы ЛДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами | |
| 21.12.2021 | Неоднородные системы ДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Примеры. Матричная экспонента. Разрешающий оператор. |
|
| 22.12.2021 | Нелинейные уравнения: (а) однородные уравнения; (б) уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. Примеры. |