| Дата |
Содержание |
Видео (Плэйлист) |
| 12.02.2021 |
Введение. Предварительные сведения. Усреднение функций. Аналог основной леммы вариационного исчисления.
Обобщенные производные: определение и свойства. |
Лекция 1 Видео |
| 15.02.2021 |
Второе определение обобщенных производных. Замкнутость операции обобщенного дифференцирования. Обобщенная производная произведения функций. Замена переменных. Равенство нулю для производных. Свойство абсолютной непрерывности. Примеры обобщенных производных. |
Лекция 2 Видео |
| 19.02.2021 |
Пространства Соболева \(W_p^l(\Omega)\) и \(W_p^l(\Omega)\) «с ноликом». Определение и свойства. Пространство \(W_p^l(\mathbb{R}^n)\). Неравенство Фридрихса. |
Лекция 3 Видео |
| 22.02.2021 |
Случай звездных областей. Плотность множества гладких функций в \(W_p^l(\Omega)\). Теоремы продолжения. |
Лекция 4 Видео |
| 26.02.2021 |
Теоремы вложения: введение. Интегральные операторы в \(L_p(\Omega)\). Условия ограниченности и компактности в разных функциональных пространствах (леммы 1-5). |
Лекция 5 Видео |
| 01.03.2021 |
Интегральное представление функций из класса \(W_p^1(\Omega)\) «с ноликом». Теоремы вложения для \(W_p^1(\Omega)\) «с ноликом».
Теоремы вложения для \(W_p^1(\Omega)\). Примеры и комментарии. |
Лекция 6 Видео |
| 05.03.2021 |
Теоремы вложения для \(W_p^1(\Omega)\): примеры и комментарии. Теоремы вложения для \(W_p^l(\Omega)\). |
Лекция 7 Видео |
| 08.03.2021 |
Эквивалентные нормировки в \(W_p^l(\Omega)\). «Неравенства с \(\varepsilon\)». Пространства Соболева \(H^s(\mathbb{R}^n)\): предварительные сведения. |
Лекция 8 Видео |
| 12.03.2021 |
Пространства \(H^s(\mathbb{R}^n)\): определение и свойства. Теорема о плотности множества финитных гладких функций в \(H^s(\mathbb{R}^n)\). Дуализм \(H^s(\mathbb{R}^n)\) и \(H^{-s}(\mathbb{R}^n)\). |
Лекция 9 Видео |
| 19.03.2021 |
Теорема об эквивалентной норме в \(H^s(\mathbb{R}^n)\) при дробном \(s>0\). «Неравенства с \(\varepsilon\)». Точные теоремы о следах. |
Лекция 10 Видео |
| 21.03.2020 |
Теоремы о следах для класса \(H^s(\mathbb{R}^n)\). Теоремы о продолжении с \(\mathbb{R}^{n-1}\) в \(\mathbb{R}^n\). |
Лекция 11. Часть 1 Видео |
| 21.03.2020 |
Пространства \(H^s(\Omega)\); два подхода к их определению. Теоремы о следах. Характеристика пространства \(H^l(\Omega)\) «с ноликом». |
Лекция 11. Часть 2 Видео |
| 28.03.2020 |
Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Свойства компактных операторов. Задача Дирихле со спектральным параметром. Разложение по собственным функциям. Вариационный принцип для нахождения собственных значений. |
Лекция 12 Видео |
| 30.03.2020 |
Задача Дирихле для равномерно эллиптического уравнения второго порядка. Энергетическое неравенство. Исследование разрешимости в классе \(H^1(\Omega)\). |
Лекция 13 Видео |
| 03.04.2020 |
Задача Дирихле для равномерно эллиптического уравнения второго порядка. Расположение спектра. Разложение по собственным функциям симметричных эллиптических операторов. Вариационный принцип для нахождения собственных значений. Задача Неймана и третья краевая задача. |
Лекция 14 Видео |
| 06.04.2020 |
Повышение гладкости решений эллиптических уравнений внутри области. |
Лекция 15 Видео |
| 10.04.2020 |
Повышение гладкости решения задачи Дирихле вплоть до границы. Теорема о разрешимости задачи Дирихле в классе \(H^2(\Omega)\). |
Лекция 16 Видео |
| 13.04.2020 |
Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности. Разрешимость в классе \(H^{\Delta,1}_0(Q_T)\). |
Лекция 17 Видео |
| 17.04.2020 |
Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе \(L_2(Q_T)\). Энергетическое соотношение. Разрешимость в энергетическом классе. |
Лекция 18 Видео |
