| Дата |
Содержание |
Видео Плэйлист |
| 11.02.2021 |
Множества с бинарной операцией. Нейтральный элемент. Обратный элемент. Группы, кольца. |
Лекция 1 Видео |
| 15.02.2021 |
Поля. Понятие изоморфизма. Изоморфизм групп и колец. Аксиоматика линейного пространства. Примеры. |
Лекция 2 Видео |
| 18.02.2021 |
Изоморфизм линейных пространств. Понятия линейной зависимости и линейной независимости. Базисы, координаты. Размерность линейного пространства. Изоморфизм конечномерных линейных пространств. |
Лекция 3 Видео |
| 25.02.2021 |
Подпространства. Линейная оболочка множества. Пересечение подпространств. Линейная сумма подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о размерности линейной суммы подпространств. |
Лекция 4 Видео |
| 01.03.2021 |
Прямое дополнение подпространства. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах. Определение и примеры. Действия над операторами. Пространство линейных операторов из E в F. Композиция операторов и ее свойства. Кольцо линейных операторов в пространстве E. Матричное изображение линейных операторов. Изоморфизм пространства операторов и пространства матриц. Изображающая матрица композиции операторов. Примеры изображающих матриц. |
Лекция 5 Видео |
| 08.03.2021 |
Изоморфизм кольца операторов в пространстве E и кольца матриц. Образ и ранг линейного оператора. Ядро линейного оператора. Обратный оператор. Типы линейных отображений. Альтернатива Фредгольма. |
Лекция 6 Видео |
| 19.03.2020 |
Преобразование базисов, координат и изображающих матриц линейных операторов. Определитель и след линейного оператора. Ориентация в вещественном конечномерном линейном пространстве. Характеристический многочлен и спектр линейного оператора. Алгебраические кратности собственных значений. |
Лекция 7 Видео |
| 23.03.2020 |
Собственные элементы и собственные подпространства линейных операторов. Геометрические кратности собственных значений. Теорема об алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Прямая сумма собственных подпространств. Критерий существования собственного базиса. Диагонализуемые операторы. Диагонализуемые матрицы. |
Лекция 8 Видео |
| 26.03.2020 |
Функции от операторов. Тождество Кэли. |
Лекция 9 Видео |
| 02.04.2020 |
Линейные формы. Двойственное пространство. Двойственные базисы. Второе двойственное пространство. Преобразования двойственных базисов и координат в E’. Преобразования изображающих матриц операторов из E’ в E’, из E в E’, из E’ в E. |
Лекция 10 Видео Часть 1 Часть 2 |
| 06.04.2020 |
Билинейные формы. Определение, примеры. Пространство билинейных форм. Оператор билинейной формы. Изображающая матрица билинейной формы. Преобразование изображающих матриц билинейной формы. Ядро и ранг билинейной формы. Транспонирование билинейной формы. Симметричные и антисимметричные билинейные формы. |
Лекция 11 Видео |
| 09.04.2020 |
Квадратичная форма. Приведение симметричной билинейной формы к простейшему виду (приведение квадратичной формы к сумме квадратов). |
Лекция 12 Видео |
| 13.04.2020 |
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов: вещественный случай. Закон инерции квадратичных форм. Вещественные евклидовы пространства. Скалярное произведение векторов. Ортогональность. Норма вектора. Ортонормированные базисы. Неравенство Коши. Угол между векторами. Свойства нормы, неравенство треугольника. Процесс ортогонализации. |
Лекция 13 Видео |
| 15.04.2020 |
Ортогональная сумма подпространств в вещественном евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение. Изоморфизм вещественных евклидовых пространств. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Билинейная форма оператора. Взаимно-однозначное соответствие операторов и билинейных форм. Сопряженный (транспонированный) оператор. Симметричные и антисимметричные операторы. Изометрические операторы. |
Лекция 14 Видео |
| 20.04.2020 |
Преобразование ортонормированных базисов в вещественном евклидовом пространстве. Ортопроекторы. Полуторалинейные формы в комплексном линейном пространстве. Эрмитовы формы. Комплексное евклидово пространство. Скалярное произведение векторов. Ортогональность. Норма вектора. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации. Неравенство Коши. Свойства нормы, неравенство треугольника. |
Лекция 15 Видео |
| 22.04.2020 |
Ортогональная сумма подпространств в комплексном евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение. Изоморфизм комплексных евклидовых пространств. Линейные операторы в комплексном евклидовом пространстве. Полуторалинейная форма оператора. Взаимно-однозначное соответствие операторов и полуторалинейных форм. Сопряженный оператор. Теорема об образе оператора и ядре сопряженного оператора. Ортопроекторы. Самосопряженные операторы. |
Лекция 16 Видео |
| 27.04.2020 |
Унитарные операторы. Преобразование ортонормированных базисов в комплексном евклидовом пространстве. Диагонализация самосопряженного оператора в комплексном евклидовом пространстве. Диагонализация симметричного оператора в вещественном евклидовом пространстве. Спектральное разложение самосопряженного оператора. |
Лекция 17 Видео |
| 29.04.2020 |
Диагонализация унитарного оператора в комплексном евклидовом пространстве. Диагонализация эрмитовых матриц. Диагонализация вещественных симметричных матриц. Диагонализация унитарных матриц. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов ортогональным преобразованием. Применение к классификации поверхностей второго порядка. |
Лекция 18 Видео |
| 07.05.2020 |
Положительно определенные операторы в комплексном евклидовом пространстве. Обобщенная задача на собственные значения. Аналогичная задача в вещественном евклидовом пространстве. Приведение эрмитовой формы к простейшему виду (в комплексном евклидовом пространстве). Одновременное приведение двух эрмитовых форм к простейшему виду. Вещественный случай: одновременное приведение двух симметричных форм к простейшему виду. Понятие о жордановой форме. Формулировка теоремы о жордановой форме. |
Лекция 19 Видео |
| 11.05.2020 |
Вспомогательные сведения: взаимно-простые многочлены, лемма о нильпотентном операторе. Корневые подпространства линейного оператора. Теорема разложения по корневым подпространствам. |
Лекция 20 Видео |
| 14.05.2020 |
Жорданова форма для нильпотентного оператора. Завершение доказательства теоремы о жордановой форме. |
Лекция 21 Видео |
|
Вопросы к экзамену |
|
