Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 23 октября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Мишулович Арсений

Тема:  Усреднение многомерного периодического эллиптического оператора на краю спектральной лакуны: операторные оценки в энергетической норме

Аннотация

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 16 октября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Симонов Сергей Александрович

Тема: О кратности спектра операторов Шрёдингера на звездных графах

Аннотация
Рассматривается вопрос о том, как определить локальную кратность сингулярного спектра оператора Шрёдингера на звездном графе с \(n\) ребрами бесконечной длины с условием склейки вида \(Au(0)+Bu'(0)=0\) (где \(A,B\) — квадратные матрицы размера \(nxn\), а \(u(0)\) и \(u'(0)\) — столбцы из пределов в нуле функций на ребрах и их производных, соответственно, причем координата \(0\) соответствует общей вершине графа). Нужно определить спектральную кратность такого оператора, зная спектры (спектральные меры) операторов Шрёдингера на отдельных ребрах с теми же потенциалами и условием Дирихле в нуле. Для абсолютно непрерывного спектра ответ следует из теоремы Като — Розенблюма, для точечного спектра ответ можно получить склейкой собственных функций на ребрах, поэтому основной интерес представляет поведение сингулярно непрерывного спектра, которое можно изучать различными методами. Удается дать достаточно детальный ответ на поставленный вопрос для большого класса самосопряженных условий склейки. Задача имеет более общую формулировку в терминах склейки граничных троек (или отношений). Результат является обобщением теоремы Каца о простоте сингулярного спектра оператора Шрёдингера на всей вещественной оси. Доклад основан на совместной работе с Харальдом Ворачеком. Ссылка на статью.

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 9 октября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Мария Владимировна Перель

Тема: Построение интегральных представлений дифференциальных уравнений методами непрерывного вейвлет-анализа

Аннотация
Кратко расскажу об истории непрерывного вейвлет-анализа, главным образом, о работе Гроссмана, Морле и Пола, где получен аналог теоремы Парсеваля (или Планшереля) для непрерывного вейвлет-преобразования, которая является основой для дальнейших построений.
Потом о  применении этого анализа для построения интегральных представлений решения уравнения Шредингера (Клаудер, Скагерстам; Добеши).
Расскажу о наших работах, где строятся интегральные представления решения задачи Коши для волнового уравнения (по работам с МС Сидоренко) и начально-краевой задачи в полуплоскости для волнового уравнения (по работам с ЕА Городницким). Приведу примеры численных расчетов.

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 2 октября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Владимир Эрнестович Петров

Тема: Оператор сингулярного интегрирования. Новый взгляд

Аннотация

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 25 сентября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Темирлан Абильдаев

Тема: Генератор симметричного процесса Леви с дельта-потенциалом и связанные с ним предельные теоремы

Аннотация
Мы рассмотрим одномерный симметричный процесс Леви, у которого существует локальное время, и построим для его генератора самосопряжённое расширение, соответствующее генератору с дельта-потенциалом. С помощью построенного оператора мы обобщим формулу Фейнмана-Каца на случай потенциала типа дельта-функции. Также мы построим меру на пространстве траекторий рассматриваемого процесса, экспоненциально притягивающую траекторию к заданной точке пространства, и сформулируем связанные с ней предельные теоремы. 

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 18 сентября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Наталья Васильевна Смородина

Тема: Одна предельная теорема для одномерных ветвящихся винеровских процессов с точечными источниками ветвления.

Аннотация

Рассматривается ветвящийся одномерный винеровский процесс, интенсивность деления которого есть линейная комбинация дельта-функций минус некоторая положительная константа. Строится соответствующая этому процессу полугруппа операторов и выписываются аналоги прямого и обратного уравнений Колмогорова. Доказывается предельная теорема.

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 11 сентября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Екатерина Злобина

Тема: Переходные зоны в задачах дифракции на негладких препятствиях

Аннотация

В задачах дифракции на негладких телах известную трудность представляет описание волновых полей в переходных зонах, где непригодны классические лучевые формулы. Мы дадим простое асимптотическое выражение для поля в этих областях. Для этого будет построено семейство точных решений уравнения Гельмгольца, удобных для описания слияния двух расходящихся цилиндрических волн, одна из которых присутствует лишь с одной стороны от предельного луча, а другая — с обеих. Построения, к которым нас подтолкнула работа ленинградского математика Н.В. Цепелева, основаны на разделении переменных в эллиптической системе координат, введенной так, чтобы цилиндрические волны расходились из ее фокусов.
Доклад основан на совместных с А.П. Киселевым работах.

Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 10 мая (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom. 

Докладчик: Александр Александрович Федотов  

Тема: О явлении Стокса и похожих явлениях для разностных уравнений 

Аннотация
Исследуя уравнения Эйри и Бесселя, Стокс заметил, что асимптотическое
поведение решений на бесконечности скачком меняется при пересечении
некоторых линий. Это явление получило название явления Стокса, а линии,
вдоль которых оно может происходить, стали называть линиями Стокса. Это
явление наблюдается не только при исследовании асимптотик решений
обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечности, но и при
исследовании квазиклассических асимптотик решений таких уравнений (когда
они содержат квазиклассический параметр — малый параметр перед
производными). Явление Стокса объясняется тем, что линии Стокса могут
разделять области, в одной из которых решение экспоненциально мало, а в
другой — экспоненциально велико. Если к экспоненциально большому
решению добавить экспоненциально малое, то на линии Стокса они могут
сравняться, а за ней поменяться ролями. Для разностных уравнений с
квазиклассическим параметром явление Стокса также наблюдается. Но есть
и линии, не являющиеся линиями Стокса, вдоль которых происходит
“скачкообразная” смена старшего члена асимптотики.  Это новое явление связано
с тем, что множество решений разностного уравнения на комплексной
плоскости гораздо богаче множества решений дифференциального уравнения.