22 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.
Докладчик: А.А. Федотов
Тема: О минимальных целых решениях одномерного разностного
уравнения Шредингера с потенциалом v(z)=e−2πiz
Аннотация
Пусть z∈C — комплексная переменная, а h∈(0,1) и
p∈C — параметры. Рассматривается уравнение
ψ(z+h)+ψ(z−h)+e−2πizψ(z)=2cos(2πp)ψ(z).
Одномерные разностные уравнения с периодическими коэффициентами
возникают в разных областях физики и, в частности, в теории дифракции
и в физике твердого тела. Их богатые спектральные свойства привлекают
и математиков, и физиков.
Обсуждаемое уравнение интересно как разностное уравнение
Шредингера с простейшим комплексным периодическим потенциалом.
Кроме того, оно естественно возникает при построении целых решений
разностных уравнений Шредингера
ψ(z+h)+ψ(z−h)+λv(z)ψ(z)=Eψ(z)
с потенциалом v, являющимся нетривиальным тригонометрическим
полиномом, вещественным на вещественной оси, в случае малой константы
связи λ и/или большого по абсолютной величине спектрального
параметра E
Мы обсудим конструкцию и аналитические свойства целых решений
рассматриваемого уравнения, обладающих минимальным возможным
ростом одновременно при Imz→±∞. В частности, будет показано,
что они удовлетворяют еще одному уравнению:
ψ(z+1)+ψ(z−1)+e−2πiz/hψ(z)=2cos(2πp/h)ψ(z).