28 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 106.

Докладчик: Марк Дородный

Тема: Усреднение уравнений типа Шрёдингера с периодическими коэффициентами при включении членов младшего порядка.

Аннотация.

22 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: О минимальных целых решениях одномерного разностного
уравнения Шредингера с потенциалом \(v(z)=e^{-2\pi iz}\)

Аннотация
Пусть \(z\in \mathbb C\) — комплексная переменная, а \(h\in(0,1)\) и
\(p\in\mathbb C\) — параметры. Рассматривается уравнение

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+e^{-2\pi iz}\psi(z)=2\cos(2\pi p)\psi(z).\]

Одномерные разностные уравнения с периодическими коэффициентами
возникают в разных областях физики и, в частности, в теории дифракции
и в физике твердого тела. Их богатые спектральные свойства привлекают
и математиков, и физиков.

Обсуждаемое уравнение интересно как разностное уравнение
Шредингера с простейшим комплексным периодическим потенциалом.
Кроме того, оно естественно возникает при построении целых решений
разностных уравнений Шредингера

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+\lambda v(z)\psi(z)=E\psi(z)\]

с потенциалом \(v\), являющимся нетривиальным тригонометрическим
полиномом, вещественным на вещественной оси, в случае малой константы
связи \(\lambda\) и/или большого по абсолютной величине спектрального
параметра \(E\)

Мы обсудим конструкцию и аналитические свойства целых решений
рассматриваемого уравнения, обладающих минимальным возможным
ростом одновременно при \(Im z\to\pm \infty\). В частности, будет показано,
что они удовлетворяют еще одному уравнению:

\[\psi(z+1)+\psi(z-1)+e^{-2\pi iz/h}\psi(z)=2\cos(2\pi p/h)\psi(z).\]

25 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Е.Л. Коротяев

Тема: Операторы Шредингера, периодические в октантах

Аннотация
В первой четверти плоскости рассматриваются операторы Шредингера с периодическими потенциалами и краевыми условиями Дирихле. Устанавливается, что для любого целого числа N и любого интервала A существует такой периодический потенциал, что у соответствующего оператора Шредингера на этом интервале спектр является дискретным и состоит из N собственных значений (с учетом кратности), а слева и справа от A есть существенный спектр.
Аналогичные результаты доказываются для операторов Шредингера в октантах произвольной размерности и в областях другой формы. Доказательство основано на теории обратной спектральной задачи для операторов Хилла на вещественной оси. Доклад основан на результатах, полученных совместно с Jacob Schach Moller, Denmark.

4 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Федотов А.А.

Тема: Матрица монодромии для уравнения почти-Матье с малой константой связи

Аннотация
В рамках метода монодромизации – перенормировочного подхода, предложенного В.С.Буслаевым и А.А.Федотовым для анализа на вещественной оси разностных уравнений с периодическими коэффициентами, – исследуется оператор почти-Матье с малой константой связи. Описаны асимптотики первой матрицы монодромии и полученные с их помощью асимптотики последовательности спектральных лакун.

2 марта в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, Средний пр. 41/43, ауд. 304

Докладчик Екатерина Щетка

Тема Комплексный метод ВКБ для разностных уравнений в неограниченных областях. Continue reading →