22 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: О минимальных целых решениях одномерного разностного
уравнения Шредингера с потенциалом \(v(z)=e^{-2\pi iz}\)

Аннотация
Пусть \(z\in \mathbb C\) — комплексная переменная, а \(h\in(0,1)\) и
\(p\in\mathbb C\) — параметры. Рассматривается уравнение

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+e^{-2\pi iz}\psi(z)=2\cos(2\pi p)\psi(z).\]

Одномерные разностные уравнения с периодическими коэффициентами
возникают в разных областях физики и, в частности, в теории дифракции
и в физике твердого тела. Их богатые спектральные свойства привлекают
и математиков, и физиков.

Обсуждаемое уравнение интересно как разностное уравнение
Шредингера с простейшим комплексным периодическим потенциалом.
Кроме того, оно естественно возникает при построении целых решений
разностных уравнений Шредингера

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+\lambda v(z)\psi(z)=E\psi(z)\]

с потенциалом \(v\), являющимся нетривиальным тригонометрическим
полиномом, вещественным на вещественной оси, в случае малой константы
связи \(\lambda\) и/или большого по абсолютной величине спектрального
параметра \(E\)

Мы обсудим конструкцию и аналитические свойства целых решений
рассматриваемого уравнения, обладающих минимальным возможным
ростом одновременно при \(Im z\to\pm \infty\). В частности, будет показано,
что они удовлетворяют еще одному уравнению:

\[\psi(z+1)+\psi(z-1)+e^{-2\pi iz/h}\psi(z)=2\cos(2\pi p/h)\psi(z).\]