30 сентября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ (ауд. 106).

Доклад А.А. Федотова “Резонансы Штарка-Ванье и кубические экспоненциальные суммы” (по совместной работе с Фредериком Клоппом)

Аннотация

Речь пойдет об операторе Шредингера
\[H=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+v(x) -\lambda x\]
в \(L^2({\mathbb R})\). Здесь \(v\) — 1-периодичская функция, а \(\lambda\) — положительная постоянная. Оператор служит моделью для описания блоховского электрона в кристалле, помещенном в постоянное электрическое поле, величина которого пропорциональна \(\lambda\). Спектр этого оператора абсолютно непрерывен и заполняет всю ось. Оператор привлек значительное внимание как физиков, так и математиков в связи с открытием лестниц Штарка-Ванье: оказалось, что резонансы этого оператора — полюса аналитического продолжения его резольвенты через спектр — образуют периодические цепочки, параллельные вещественной оси. Оказалось, что цепочки резонансов нетривиально “взаимодействуют” при изменении величины электрического поля, т.е. \(\lambda\), и физики высказали гипотезу, что поведение резонансов связано с арифметическими свойствами $\lambda$. Мы показываем, что асимптотики цепочек с большими номерами описываются в терминах кубических экспоненциальных сумм родственных кубическим суммам из теории чисел. В случае, когда отношение \(\pi^2/3\lambda\) рационально, мы получаем для лестниц Штарка-Ваннье явные асимптотические формулы.