Аннотация:

В докладе будут обсуждаться аппроксимационные свойства последовательностей центрированных случайных элементов \(X_d\), \(d\in \mathbb N\), со значениями в некоторых сепарабельных гильбертовых пространствах. Основное внимание будет сосредоточено на случайных элементах тензорного типа, чьи корреляционные операторы представляются тензорными произведениями. О таких объектах можно думать как о случайных процессах с \(d\)-мерным параметром. Классическим примером служит броуновский лист — тензорная степень винеровского процесса. Сложность аппроксимации в среднем  \(n^{X_d}(\varepsilon)\) элемента \(X_d\) определяется как минимальное количество непрерывных линейных функционалов необходимых для аппроксимации \(X_d\) со среднеквадратической относительной ошибкой не превышающей заданного порога \(\varepsilon\in(0,1)\). Мы рассмотрим поведение величины \(n^{X_d}(\varepsilon)\) при произвольном \(\varepsilon\in(0,1)\) и \(d\to\infty\). Будет показано, что при достаточно слабых условиях логарифмическая асимптотика \(n^{X_d}(\varepsilon)\) имеет вид

\[\ln n^{X_d}(\varepsilon)= a_d+q(\varepsilon)b_d+o(b_d),\quad d\to\infty,\]

где \((a_d)_{d\in\mathbb N}\) и \((b_d)_{d\in\mathbb N}\) это некоторые последовательности, а \(q\) — специальная квантиль некоторого саморазложимого или, в частности, устойчивого закона.

В качестве примера мы рассмотрим тензорные произведения эйлеровских интегрированных процессов с данной вариацией параметров гладкости.