Заседание семинара кафедры высшей математики и математической физики состоится 16 октября (среда) в 18-30, ПОМИ, ауд. 311 и в zoom.

Докладчик: Симонов Сергей Александрович

Тема: О кратности спектра операторов Шрёдингера на звездных графах

Аннотация
Рассматривается вопрос о том, как определить локальную кратность сингулярного спектра оператора Шрёдингера на звездном графе с \(n\) ребрами бесконечной длины с условием склейки вида \(Au(0)+Bu'(0)=0\) (где \(A,B\) — квадратные матрицы размера \(nxn\), а \(u(0)\) и \(u'(0)\) — столбцы из пределов в нуле функций на ребрах и их производных, соответственно, причем координата \(0\) соответствует общей вершине графа). Нужно определить спектральную кратность такого оператора, зная спектры (спектральные меры) операторов Шрёдингера на отдельных ребрах с теми же потенциалами и условием Дирихле в нуле. Для абсолютно непрерывного спектра ответ следует из теоремы Като — Розенблюма, для точечного спектра ответ можно получить склейкой собственных функций на ребрах, поэтому основной интерес представляет поведение сингулярно непрерывного спектра, которое можно изучать различными методами. Удается дать достаточно детальный ответ на поставленный вопрос для большого класса самосопряженных условий склейки. Задача имеет более общую формулировку в терминах склейки граничных троек (или отношений). Результат является обобщением теоремы Каца о простоте сингулярного спектра оператора Шрёдингера на всей вещественной оси. Доклад основан на совместной работе с Харальдом Ворачеком. Ссылка на статью.