Мы рассматриваем оператор Шредингера на прямой с потенциалом, являющимся периодической функцией координатной переменной и вещественно аналитической функцией спектрального параметра.
Мы показываем, что если мнимая часть потенциала ограничена в правой полуплоскости, то спектр при высоких энергиях вещественный и находим его асимптотику. Рассмотрены также задачи Дирихле и Неймана.
Полученные результаты использованы для анализа уравнения good Boussinesq.

A.Badanin.

Hill’s operators with the potentials analytically dependent on energy
(jointly with E.Korotyaev)

We consider Schr\”odinger operators on the line with potentials
that are periodic with respect to the coordinate variable and real
analytic with respect to the energy variable.
We prove that if the imaginary part
of the potential is bounded in the right half-plane, then the high energy spectrum is real,
and the corresponding asymptotics are determined.
Moreover, the Dirichlet and Neumann problems are considered.

These results are used to analyze the good Boussinesq equation.