19 декабря в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 106.

Докладчик: Дмитрий Мокеев

Тема: Оператор Дирака на полуоси с периодическим потенциалом (по совместной работе с Е.Л. Коротяевым)

Аннотация
Мы рассмотрим одномерный оператор Дирака на полуоси с периодическим потенциалом и условием Дирихле в нуле. Его спектр состоит из абсолютно непрерывной и дискретной частей. Абсолютно непрерывная часть спектра имеет зонную структуру. Резольвента такого оператора в некотором смысле допускает мероморфное продолжение на двулистную риманову поверхность. Полюса резольвенты на этой римановой поверхности будем называть состояниями, причем состояния на первом листе являются собственными значениями оператора, а состояния на втором листе — резонансами. Мы покажем, что над каждой открытой лакуной спектра существует единственное состояние рассматриваемого оператора. При сдвиге потенциала на вещественный параметр t, абсолютно непрерывный спектр не изменяется, но состояния изменяют свое положение в лакуне. Цель нашей работы — изучить состояния, как функции t. Мы покажем, что они являются абсолютно непрерывными функциями t и найдем их локальные асимптотики, используя уравнение Дубровина и специальную версию теоремы о неявной функции. В случае общего положения состояния не являются монотонными функциями t, мы покажем при каких условиях это выполняется. Наконец, используя тауберовы теоремы, мы покажем способ восстановления потенциала по локальным асимптотикам состояния в некоторой открытой лакуне. Если останется время, то мы рассмотрим также результаты для одномерного оператора Дирака с дислокацией в периодическом потенциале.
—