Задача

Найти момент инерции однородной полуокружности $x^{2}+y^{2}=R^{2}, \; y\geqslant0$, относительно оси $OX$.

Доказательство. Обозначим полуокружность через $\Gamma$, плотность через $\rho$, а искомый момент через $I$. Параметризация окружности может быть определена равенствами

$$x=R\cos t\,,\quad y=R\sin t\,,\quad 0\leqslant t\leqslant\pi\,.$$

Тогда

$$I= \int\limits_{\Gamma}y^{2}\rho\,dl= \rho\int\limits_{0}^{\pi} (... ... R^{3}\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2t}{2}\,dt=\frac{\rho\pi R^{3}}{2} \,.$$

$\qedsymbol$