Задача

Найти статический момент дуги параболы $y=x^{2}\,,\;0\leqslant x\leqslant 1,$ относительно оси $OY$.

Доказательство. Обозначим дугу параболы через $\Gamma$, плотность через $\rho$. Тогда

$$\int\limits_{\Gamma}x\rho\,dl= \rho\int\limits_{0}^{1}x \sqrt{1+4... ...{\rho}{6} (1+4x^{2})^{3/2}\Bigl\vert _{0}^{1}= \rho\, \frac{5 \sqrt{5}-1}{6}\,.$$

$\qedsymbol$