Задача

Найти массу винтовой линии

$$x=a\cos t\,,\quad y=a\sin t\,,\quad z=bt\,, \quad 0\leqslant t\leqslant 2\pi\,,$$

если плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты.

Доказательство. Обозначим винтовую линию через $\Gamma$. Тогда

$$M (\Gamma)= \int\limits_{\Gamma}z^{2}\,dl= \int\limits_{0}^{2\pi}... ...{2}+ (a\cos t)^{2}+b^{2}}\,dt= b^{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}} \,\frac{8\pi^{3}}{3}\,.$$

$\qedsymbol$