Задача

Проверить, что форма $\omega=2zx\,dx+2zy\,dy+ (x^{2}+y^{2})\,dz$ замкнута и найти ее потенциал.

Доказательство.

$$d\omega=2x\,dz\wedge dx+2y\,dz\wedge dy+2x\,dx\wedge dz+2y\,dy\wedge dz=0\,,$$

что доказывает замкнутость формы. Найдем ее потенциал:

$$\alpha= \int\limits_{0}^{1}dt [2tz\cdot tx\cdot x+2tz\cdot ty\cdot y+ ((tx)^{2} + (ty)^{2})z] =z(x^{2}+y^{2})\,.$$

$\qedsymbol$