Задача

Найти скорость изменения формы потока вектора $\mathbf{b}= (x,1)$ на траекториях системы

$$x'=x+y\,,\qquad y'=-x$$

в начальный момент времени.

Доказательство. Форма потока вектора $\mathbf{b}$ равна $\omega= \imath_{\mathbf{b}} (dx\wedge dy) =x\,dy-dx$. Введем вектор $\mathbf{v}= (x+y,-x)$ фазового потока $\theta_{t}$, определяющего эволюцию системы. Производная Ли формы $\omega$ по вектору $\mathbf{v}$ равна

$$\begin{multline*} \mathcal{L}_{\mathbf{v}}\omega= (d\imath_{\mathbf{v}}+\imath_... ...= -2x\,dx-dx-dy+ (x+y)\,dy+x\,dx\\ =- (x+1)\,dx+ (x+y-1)\,dy\,. \end{multline*}$$

Поскольку $\theta_{0}=I$, по формуле Картана

$$\frac{d}{dt}\,\theta_{t}^{*}\omega \Bigl\vert _{t=0} =\theta_{0}^{*} \mathcal{L}_{\mathbf{v}}\omega= - (x+1)\,dx+ (x+y-1)\,dy\,.$$

$\qedsymbol$