Задача

Пусть $\alpha=x\,dx+y\,dz-z\,dy\,,\;\beta=y\,dx+z\,dy+x\,dz$. Найти значение формы $\alpha\wedge\beta$ в точке $\mathbf{x}(1,3,-2)$ на векторах $\mathbf{h}= (1,1,1)$ и $\mathbf{k}= (1,0,-1)$.

Доказательство.

$$\alpha_{\mathbf{x}} ( \mathbf{h}) =1\cdot 1+3\cdot 1- (-2)\cdot 1=6\,, \alpha_{\mathbf{x}} (\mathbf{k}) =1\cdot 1+3\cdot (-1)- (-2)\cdot 0=-2\,,$$

$$\beta_{\mathbf{x}} ( \mathbf{h}) =3\cdot 1+ (-2)\cdot 1+ 1\cdot 1=2\,, \beta_{\mathbf{x}} (\mathbf{k}) =3\cdot 1+(-2)\cdot 0+ 1\cdot (-1) =2\,,$$

откуда

$$(\alpha\wedge\beta)_{\mathbf{x}} (\mathbf{h}, \mathbf{k})= \begin{vmatrix} 6&-2\\ 2&2 \end{vmatrix}=16\,.$$

$\qedsymbol$