Задача

Найти момент инерции однородного параболоида $x^{2}+y^{2}=2cz\,,\;0\leqslant z\leqslant c$, плотности $\rho$ относительно оси $OZ$.

Доказательство. Обозначим параболоид через $\Gamma$, момент через $M$. Тогда

$$\begin{multline*} M= \iint\limits_{\Gamma} (x^{2}+y^{2})\rho\,dS= \rho \iint\lim... ...\sqrt{c^{2}+t}\,dt\\ = \frac{4\pi}{15} (1+6\sqrt{3})c^{4}\rho\,. \end{multline*}$$

$\qedsymbol$