Задача

Найти координаты центра масс однородной полусферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,,\;z\geqslant0$.

Доказательство. Обозначим полусферу через $\Gamma$, плотность через $\rho$, а искомые координаты через $x_{0},y_{0},z_{0}$. Масса $\Gamma$, очевидно, равна $M=\rho S (\Gamma)=2\pi R^{2}\rho$. Из соображений симметрии $x_{0}=y_{0}=0$. Введем параметризацию полусферы $\Gamma$

$$x=R\cos\varphi\sin\theta\,,\quad y=R\sin\varphi\sin\theta\,,\quad z=R\cos\theta\,,\quad \varphi\in[0,2\pi),\quad \theta\in[0, \pi/2].$$

Тогда

$$E =\left( \frac{\partial x}{\partial\varphi} \right)^{2}+ \left( \f... ...}+ \left( \frac{\partial z}{\partial\varphi} \right)^{2}=R^{2}\sin^{2}\theta\,,$$

$$F = \frac{\partial x}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial x}{\part... ...\frac{\partial z}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial z}{\partial \theta}=0\,,$$

$$G = \left( \frac{\partial x}{\partial \theta} \right)^{2}+ \left(\f... ...eta} \right)^{2}+ \left(\frac{\partial z}{\partial \theta} \right)^{2}=R^{2}\,,$$

откуда

$$z_{0}= \frac{1}{M} \iint\limits_{\Gamma}z\rho \,dS= \frac{1}{2\pi... ...d\varphi \int\limits_{0}^{ \pi/2} \sin\theta\cos\theta\,d\theta= \frac{R}{2}\,.$$

$\qedsymbol$