Замена переменных

Если $\theta$ — гладкое отображение $\mathbb{R}^{m}\to \mathbb{R}^{n}$, определенное равенствами $x_{i}=x_{i} (u_{1},\ldots u_{m})\,,\;i=1,\ldots n$ или, кратко, $\mathbf{x}=\theta ( \mathbf{u})$, то

$$\theta^{*}f=f\circ\theta\,,\qquad \theta^{*}dx_{i}=\sum_{j=1}^{m}... ...d \theta^{*} (\alpha\wedge\beta)= (\theta^{*}\alpha)\wedge (\theta^{*}\beta)\,.$$

Если отображение $\theta$ обратимо, то операцию $\theta^{*}$ называют заменой переменных в форме. В противном будем говорить о сужении формы на поверхность, параметрически определенную отображением $\theta$. Имеет место равенство

$$\theta^{*}d\omega=d\theta^{*}\omega\,.$$

Если $\theta$ — преобразование в $\mathbb{R}^{n}$ и $\Omega=dx_{1}\wedge\ldots \wedge dx_{n}$, то

$$\theta^{*} \Omega=\det\theta'\cdot\Omega\,.$$

Если отображение $\theta_{t}$ определяет эволюцию системы со скоростью $\mathbf{v} ( \mathbf{x},t)$, т.е. функция $\mathbf{x} (t)=\theta_{t} \mathbf{x}$ является решением дифференциального уравнения

$$\frac{d \mathbf{x}}{dt}= \mathbf{v} ( \mathbf{x},t)\,,$$

то имеет силу формула Картана

$$\frac{d}{dt}\,\theta_{t}^{*}\omega= \theta_{t}^{*}\mathcal{L}_{\mathbf{v}}\omega\,.$$