Точные и замкнутые формы

Форма $\omega$ точна, если $\omega=d\alpha$. Форма $\alpha$ при этом называется потенциалом или первообразной формы $\omega$. В силу леммы Пуанкаре потенциал определен не однозначно, а лишь с точностью до точной формы. Форма $\omega$ называется замкнутой, если $d\omega=0$. Замкнутая форма не обязана быть точной. Но если отображение $\theta_{t}$ при изменении параметра $t$ от $t=1$ до $t=0$ стягивает область $G$ в точку $\mathbf{x}_{0}$, то для замкнутой в $G$ формы $\omega$ получаем представление

$$\omega=\theta_{1}^{*}\omega-\theta_{0}^{*}\omega= \int\limits_{0}... ...\mathbf{v} ( \theta_{t} \mathbf{x},t) = \frac{d}{dt} \,\theta_{t} \mathbf{x}\,.$$

В частности, замкнутая форма $\omega$ локально точна (теорема Пуанкаре). В окрестности нуля потенциал замкнутой $k$-формы

$$\omega= \sum_{i_{1}<\ldots< i_{k}}f_{i_{1}\ldots i_{k}} ( \mathbf{x})\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots\wedge dx_{i_{k}}$$

может быть построен по формуле

$$\alpha= \int\limits_{0}^{1}dt \sum_{i_{1}<\ldots< i_{k}}f_{i_{1}\... ... \ldots \wedge dx_{i_{j-1}}\wedge dx_{i_{j+1}}\wedge\ldots \wedge dx_{i_{k}}\,.$$