Теоретический материал

Путь $\gamma$ в $\mathbb{R}^{n}$ — это непрерывное отображение $\gamma: \quad [a,b]\to \mathbb{R}^{n}$. Значения функции $\gamma (t)$ называются точками пути $\gamma$. В координатах путь $\gamma$ описывается равенствами

$$x_{1}=x_{1} (t)\,,\ldots x_{n}=x_{n} (t)\,,\qquad t\in[a,b]\,.$$

Точка $\gamma (a)$ называется началом пути $\gamma$, точка $\gamma (b)$ — его концом. Если начало и конец пути совпадают, путь называется замкнутым. Если вектор-функция $\gamma$ непрерывно дифференцируема и $\gamma' (t)\ne0$, путь $\gamma$ называется гладким. Производная $\gamma'$ называется скоростью пути $\gamma$. Путь $\alpha$ эквивалентен пути $\beta$, если $\alpha=\beta\circ\varphi$, где $\varphi$ — непрерывно дифференцируемая функция и $\varphi'>0$. Класс эквивалентных между собой путей называется ориентированной кривой. Кривая $\Gamma$ в $\mathbb{R}^{n}$ — это такое подмножество в $\mathbb{R}^{n}$, которое является образом (множеством точек) некоторого пути. Путь $\gamma$, определяющий кривую $\Gamma$, называется ее параметризацией. Кривая называется гладкой или замкнутой, если таковым свойством обладает ее параметризация. Каждой гладкой кривой отвечает ровно две ориентированных гладких кривых. Они называются ее ориентациями. Выбранная ориентация называется положительной, другая — отрицательной. Ориентация гладкой кривой может быть определена выбором непрерывного единичного касательного вектора $\tau$ к кривой. Последний определяется параметрически равенствами

$$P=\gamma (t)\,,\qquad \tau (P)= \frac{\gamma' (t)}{\vert\gamma' (t)\vert}\,,$$

где $\gamma$ — параметризация ориентированной кривой. Если кривая не замкнута, ее ориентация может быть определена выбором начала и конца кривой.

Интеграл от функции $f$ по гладкой кривой $\Gamma$ с параметризацией $\gamma: \quad [a,b]\to \mathbb{R}^{n}$ определяется равенствами

$$\int\limits_{\Gamma}f= \int\limits_{\Gamma}f (P)\,dl= \int\limits... ...x_{1} (t),\ldots x_{n}(t)) \sqrt{x_{1}'^{2} (t)+ \ldots +x_{n}'^{2} (t)}\,dt\,.$$

Определение не зависит от параметризации кривой, в частности, от ее ориентации. Так определенный интеграл обладает свойством линейности относительно интегрируемой функции и свойством аддитивности относительно кривой интегрирования. На кусочно гладкие кривые интеграл распространяется по аддитивности. Интеграл от $f=1$ по кривой $\Gamma$ (пути $\gamma$) называется длиной данной кривой (пути):

$$l (\Gamma)=l (\gamma)= \int\limits_{\Gamma}dl= \int\limits_{\gamma}dl\,.$$

Физический смысл интеграла по длине дуги

$$M (\Gamma)= \int\limits_{\Gamma}\rho\,dl$$

— масса кривой $\Gamma$ с линейной плотностью $\rho$. Координаты центра тяжести такой кривой определяются равенствами

$$x_{i}= \frac{\int\limits_{\Gamma}x_{i}\rho\,dl}{M (\Gamma)}\,,\quad i=1,\ldots n\,.$$

Интегралы

$$\int\limits_{\Gamma}r^{k}\rho\,dl\,,$$

где $r$ — расстояние от точки массивной кривой до некоторой фиксированной точки, прямой или плоскости, называются моментами порядка k данной кривой относительно данной точки, оси или плоскости. Моменты первого порядка называются также статическими, моменты второго порядка называются моментами инерции.