Дифференцирование форм

Если $\omega=f$ — 0-форма, т.е. функция, то ее внешний дифференциал есть 1-форма

$$df=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,dx_{i}\,.$$

В общем случае внешний дифференциал $d$ формы $\omega$ определяется равенствами

$$d\omega= d\left(\sum_{i_{1}<\ldots <i_{k}} f_{i_{1}\ldots i_{k}} ... ..._{k}} df_{i_{1}\ldots i_{k}} \wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots\wedge dx_{i_{k}}\,.$$

Имеют место соотношения

$$dd\omega=0$$

и

$$d (\alpha\wedge\beta)= (d\alpha)\wedge\beta+ (-1)^{k}\alpha\wedge d\beta \,,$$

здесь $\alpha$ — $k$-форма.

Форма $\imath_{\mathbf{v}}\omega$ получается из формы $\omega$ при замораживании ее первого векторного аргумента на значении  $\mathbf{v}$. Таким образом, в случае монома,

$$\imath_{\mathbf{v}} (\alpha_{1}\wedge\ldots \wedge\alpha_{k})= \s... ...pha_{1}\wedge \ldots \alpha_{j-1}\wedge\alpha_{j+1}\wedge\ldots\wedge\alpha_{k} \,.$$

Операция $\imath_{\mathbf{v}}$ называется внутренним умножением формы на вектор $\mathbf{v}$. Она подчиняется правилу Лейбница

$$\imath_{\mathbf{v}} (\alpha\wedge\beta)= (\imath_{\mathbf{v}}\alpha)\wedge \beta+ (-1)^{k}\alpha\wedge (\imath_{\mathbf{v}}\beta)\,,$$

где $\alpha$ — $k$-форма. $(n-1)$-форма $\imath_{\mathbf{v}}\Omega$, где $\Omega=dx_{1}\wedge\ldots \wedge dx_{n}$, называется формой потока вектора $\mathbf{v}$.

Операция $\mathcal{L}_{\mathbf{v}}=d\imath_{\mathbf{v}} +\imath_{\mathbf{v}}d$ подчиняется правилу Лейбница

$$\mathcal{L}_{\mathbf{v}} (\alpha\wedge\beta)= (\mathcal{L}_{\mathbf{v}}\alpha)\wedge \beta+\alpha\wedge (\mathcal{L}_{\mathbf{v}}\beta)\,,$$

перестановочна с внешним дифференциалом $d \mathcal{L}_{\mathbf{v}}= \mathcal{L} _{\mathbf{v}}d$ и называется производной Ли формы.