Теоретический материал

Простая гладкая поверхность $\Gamma$ в $\mathbb{R}^{3}$ определяется как множество значений гладкой функции $\theta:\; D\to \mathbb{R}^{3}$, определенной на некоторой связной жордановой области $D\subset \mathbb{R}^{2}$, при этом считается, что $\mathrm{rank\,}\theta'=2$. Вектор-функция $\theta$ называется параметризацией поверхности $\Gamma$. Координаты на области $D$ называются локальными координатами на поверхности $\Gamma$. В координатах поверхность будет описываться равенствами

$$x= x(u,v)\,,\quad y=y (u,v)\,,\quad z=z (u,v)\,,\quad (u,v)\in D\,.$$

Интеграл от функции $f$ по поверхности $\Gamma$ определяется равенствами

$$\iint\limits_{\Gamma}f= \iint\limits_{\Gamma}f\,dS= \iint\limits_... ...theta')}= \iint\limits_{D}f (x (u,v),y (u,v),z (u,v)) \sqrt{EG-F^{2} }\,dudv\,,$$

где

$$E =\left\vert \frac{\partial\theta}{\partial u} \right\vert^{2}= \l... ... y}{\partial u} \right)^{2}+ \left(\frac{\partial z}{\partial u} \right)^{2}\,,$$

$$F = \frac{\partial\theta}{\partial u} \cdot \frac{\partial\theta}{\... ...\partial v}+ \frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial z}{\partial v}\,,$$

$$G =\left\vert \frac{\partial\theta}{\partial v} \right\vert^{2}= \l... ... y}{\partial v} \right)^{2}+ \left(\frac{\partial z}{\partial v} \right)^{2}\,.$$

Имеет место также равенство

$$EG-F^{2}= \left(\frac{D (y,z)}{D (u,v)}\right)^{2}+ \left(\frac{D (z,x)}{D (u,v)}\right)^{2}+ \left(\frac{D (x,y)}{D (u,v)}\right)^{2}\,.$$

В случае явного задания поверхности $z=g (x,y)$

$$\iint\limits_{\Gamma}f\,dS= \iint\limits_{D} f (x,y,g (x,y)) \sqr... ...rtial x} \right)^{2}+ \left(\frac{\partial g}{\partial y} \right)^{2}}\,dxdy\,.$$

Определение интеграла по поверхности не зависит от параметризации. Интеграл обладает свойствами линейности относительно подынтегральной функции и аддитивности относительно поверхности интегрирования. Интеграл от $f=1$ по поверхности $\Gamma$ называется площадью поверхности

$$S (\Gamma)= \iint\limits_{\Gamma}dS\,.$$

Физический смысл интеграла

$$M (\Gamma)= \iint\limits_{\Gamma}\rho\,dS$$

— масса поверхности $\Gamma$ с плотностью $\rho$. Моменты k-го порядка определяются аналогично со случаем криволинейного интеграла как интегралы вида

$$\iint\limits_{\Gamma}r^{k}\rho\,dS\,.$$