2 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: Геометрическая фаза для разностных уравнений

12 сентября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Екатерина Щетка

Тема: Квазиклассические асимптотики спектра субкритического оператора Харпера (доклад основан на совместной работе с А.А. Федотовым).

Аннотация

22 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: О минимальных целых решениях одномерного разностного
уравнения Шредингера с потенциалом \(v(z)=e^{-2\pi iz}\)

Аннотация
Пусть \(z\in \mathbb C\) — комплексная переменная, а \(h\in(0,1)\) и
\(p\in\mathbb C\) — параметры. Рассматривается уравнение

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+e^{-2\pi iz}\psi(z)=2\cos(2\pi p)\psi(z).\]

Одномерные разностные уравнения с периодическими коэффициентами
возникают в разных областях физики и, в частности, в теории дифракции
и в физике твердого тела. Их богатые спектральные свойства привлекают
и математиков, и физиков.

Обсуждаемое уравнение интересно как разностное уравнение
Шредингера с простейшим комплексным периодическим потенциалом.
Кроме того, оно естественно возникает при построении целых решений
разностных уравнений Шредингера

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+\lambda v(z)\psi(z)=E\psi(z)\]

с потенциалом \(v\), являющимся нетривиальным тригонометрическим
полиномом, вещественным на вещественной оси, в случае малой константы
связи \(\lambda\) и/или большого по абсолютной величине спектрального
параметра \(E\)

Мы обсудим конструкцию и аналитические свойства целых решений
рассматриваемого уравнения, обладающих минимальным возможным
ростом одновременно при \(Im z\to\pm \infty\). В частности, будет показано,
что они удовлетворяют еще одному уравнению:

\[\psi(z+1)+\psi(z-1)+e^{-2\pi iz/h}\psi(z)=2\cos(2\pi p/h)\psi(z).\]

8 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчики: Платонова М., Рядовкин К.

Тема: О моделях ветвящегося случайного блуждания.

Аннотация
Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания на решетке \(\mathbf{Z}^d\) с непрерывным временем и источниками ветвления, расположенными периодически на \(\mathbf{Z}^d\). Изучается асимптотическое поведение среднего числа частиц в произвольной точке решетки при \(t\to\infty\).

4 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Федотов А.А.

Тема: Матрица монодромии для уравнения почти-Матье с малой константой связи

Аннотация
В рамках метода монодромизации – перенормировочного подхода, предложенного В.С.Буслаевым и А.А.Федотовым для анализа на вещественной оси разностных уравнений с периодическими коэффициентами, – исследуется оператор почти-Матье с малой константой связи. Описаны асимптотики первой матрицы монодромии и полученные с их помощью асимптотики последовательности спектральных лакун.

3 мая в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: Квазиклассические асимптотики функций Малюженца

Аннотация
Пусть \(h\) — фиксированное положительное число. Мы будем обсуждать решения уравнения
\[
\sigma(z+h)=(1+e^{-iz})\sigma(z-h),\qquad\qquad (1)
\]
на комплексной плоскости переменной \(z\). Это уравнение введено в рассмотрение в работе В.Буслаева и А.Федотова (2001), где изучались решения разностных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, интерес к которым возник в связи с задачами из физики твердого тела. Позже оказалось, что родственные уравнения возникали при исследовании разных аналитических задач. В теории дифракции хорошо известно уравнение Малюжинца \(\psi(z+h)=\cot(z/2+\pi/4)\psi(z-h)\). Его решения начали изучаться Малюжинцом в 1958 году. Родственные уравнения были введены и независимо изучались в работах Бобровникова и Фирсанова (1988), Фаддеева, Кашаева и Волкова (2001) и Ruigsenaars’a (2000). Решения всех этих уравнений связаны друг с другом простыми соотношениями, и мы ограничимся обсуждением (1). Мы опишем асимптотики решений этого уравнения при \(h\to0\). Поскольку формально \(f(x+h)=\exp(h\frac{d}{dx}) f(x)\), эти асимптотики естественно считать квазиклассическими.

22 февраля в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Е.Л. Коротяев

Тема: Trace formulas for Schrodinger operators on lattice

Аннотация
We obtain new trace formulas and estimates for Schrodinger operators with complex potentials on lattice.

18 мая в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик М.А. Лялинов

Тема Функционально разностные уравнения в линейной задаче о вынужденных колебаниях жидкости в бесконечном бассейне с коническим дном

Аннотация
Исследуется модельная задача о стационарных вынужденных колебаниях жидкости малой амплитуды в поле силы тяжести в бесконечном бассейне с источниками, расположенными на коническом дне с просачиванием. Изучается классическое решение задачи в линейном приближении. С использованием преобразования Меллина и разложения по сферическим функциям задача сводится к совокупности систем функционально разностных уравнений с мероморфными коэффициентами, которые являются комбинациями присоединенных функций Лежандра и их производных.
Задача для системы функционально разностных уравнений редуцируется к сингулярным интегральным уравнениям. Для этого, в частности, вычисляется решение некоторых вспомогательных функциональных уравнений первого порядка с мероморфными коэффициентами. Показано, что система интегральных уравнений фредгольмова, имеет нулевой индекс.
При определенных предположениях классическое решение задачи существует и единственно. Получены оценки классического решения задачи в окрестности конической точки и на бесконечности.