Ответ:

Матричная экспонента определяется как сумма ряда

eA = ∑ An-, n=0n!

где $A$ — квадратная матрица. Ряд сходится, поскольку каждый компонентный ряд имеет мажоранту

∑ ∥A∥n, n!

где $∥A∥$ — матричная норма.

Для вычисления матричной экспоненты можно матрицу $A$ привести к жордановой форме $Λ$ , при этом

-1 A Λ - 1 A = T ΛT и e = Te T .

Столбцами матрицы перехода $T$ являются собственные и присоединенные векторы матрицы $A$ , в базисе из которых она принимает жорданову форму.

Каждая жорданова клетка в матрице $Λ$ имеет вид $λI + N$ , где $N$ — матрица, у которой ряд выше главной диагонали занимают единички, а остальные места заполнены нулями. При этом $Nk = 0$ , где $k$ — порядок жордановой клетки. Тогда

λI+N λ -N-k--1- e = e (I + N + ...(k- 1)!).

Другой способ построения экспоненты состоит в следующем. Можно матричную экспоненту искать в виде многочлена степени на единицу меньше, чем порядок матрицы, при этом искомый многочлен должен совпадать с экспонентой на спектре матрицы (в случае кратных корней следует приравнивать и производные).