Задача

Найти момент инерции однородной окружности

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,,\quad x+y+z=R$$

относительно плоскости $XOZ$.

Доказательство. Обозначим окружность через $\Gamma$, плотность через $\rho$, искомый момент через $I$. Отметим, что данная окружность описана около равностороннего треугольника со стороной $R\sqrt{2}$, следовательно, ее радиус равен $R \sqrt{\frac{2}{3}}$. Тогда

$$I= \int\limits_{\Gamma}y^{2}\rho\,dl=\rho \int\limits_{\Gamma}y^{... ...dl= \frac{\rho R^{2}l (\Gamma)}{3}= \frac{2\pi R^{3}}{3} \sqrt{ \frac{2}{3}}\,.$$

$\qedsymbol$