Задача

Найти координаты центра тяжести однородной полуокружности

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,,\quad y=x\,, \quad x\geqslant0\,.$$

Доказательство. Обозначим полуокружность через $\Gamma$, плотность через $\rho$, искомые координаты через $x_{0},y_{0},z_{0}$. По соображениям симметрии

$$x_{0}=y_{0}\,,\quad z_{0}=0\,.$$

Зададим параметризацию $\Gamma$ равенствами

$$x=\frac{R}{\sqrt{2}}\,\sin\theta\,,\quad y= \frac{R}{\sqrt{2}}\sin\theta\,, \quad z=R\cos\theta\,, \quad 0\leqslant\theta\leqslant\pi\,.$$

Тогда

$$M (\Gamma)= \int\limits_{\Gamma}\rho\,dl=\rho \int\limits_{0}^{\p... ...ta+R^{2}\sin^{2}\theta}\,d\theta =\rho R \int\limits_{0}^{\pi}d\theta=\rho R\pi$$

и

$$x_{0}= \frac{\int\limits_{\Gamma}x\rho\,dl}{M (\Gamma)}= \frac{1}... ...c{R}{\pi\sqrt{2}} (-\cos\theta)\Bigl\vert _{0}^{\pi}= \frac{R \sqrt{2}}{\pi}\,.$$

$\qedsymbol$