Задача

Найти поверхностный интеграл

$$\iint\limits_{\Gamma }\frac{dy\wedge dz}{x}+ \frac{dz\wedge dx}{y}+ \frac{dx \wedge dy}{z}\,,$$

где $\Gamma$ — поверхность эллипсоида

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}+ \frac{z^{2}}{c^{2}}=1\,,$$

ориентированная внешней нормалью.

Доказательство. Параметризуем поверхность эллипсоида равенствами

$$x=a\cos\varphi\sin\theta\,,\quad y=b\sin\varphi\sin\theta\,,\quad z=c\cos\theta\,, \quad \varphi\in[0,2\pi)\,,\quad \theta\in[0,\pi]\,.$$

Ориентация внешней нормалью приводит к следующему порядку локальных координат: $(\theta,\varphi)$. Обозначая параметризацию через $\Theta$, найдем сужение базисных форм на поверхность эллипсоида:

$$\Theta^{*} (dy\wedge dz) =bc (\cos\varphi\sin\theta\,d\varphi+\sin\varphi\cos\theta\,d\theta) \wedge (-\sin\theta)d\theta$$

$$=bc\sin^{2}\theta\cos\varphi\,d\theta\wedge d\varphi$$

$$\Theta^{*} (dz\wedge dx) =ac (-\sin\theta)d\theta \wedge (-\sin\varphi\sin\theta\,d\varphi+\cos\varphi\cos\theta\,d\theta)$$

$$=ac\sin^{2}\theta\sin\varphi\,d\theta\wedge d\varphi$$

$$\Theta^{*} (dx\wedge dy) =ab(-\sin\varphi\sin\theta\,d\varphi+\cos\varphi\cos\theta\,d\theta) \wedge (\cos\varphi\sin\theta\,d\varphi+\sin\varphi\cos\theta\,d\theta)$$

$$=ab\cos\theta\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi\,.$$

Тогда

$$\begin{multline*} \iint\limits_{\Gamma }\frac{dy\wedge dz}{x}+ \frac{dz\wedge dx... ...\ =4\pi\left[\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+ \frac{ab}{c} \right]\,. \end{multline*}$$

$\qedsymbol$