Теоретический материал

Базисы в $\mathbb{R}^{n}$ относят к одной и той же ориентации, если матрица перехода от одного базиса к другому имеет положительный определитель. Этим условием все базисы в $\mathbb{R}^{n}$ делятся на два класса, каждый из которых и называется ориентацией $\mathbb{R}^{n}$. Ориентация в $\mathbb{R}^{n}$ может быть задана гладкой нетривиальной $n$-формой (формой объема). Стандартная ориентация в $\mathbb{R}^{n}$ с координатами $x_{1},\ldots x_{n}$ определяется заданием стандартной формы объема $\Omega=dx_{1}\wedge\ldots \wedge dx_{n}$.

Ориентация поверхности $\Gamma$ с параметризацией $\theta: \mathbb{R}^{k}\to \mathbb{R}^{n}$, определяется ориентацией пространства локальных координат $\mathbb{R}^{k}$. Эта ориентация может быть также определена как непрерывная ориентация касательных пространств к поверхности $\Gamma$ (т.е. посредством задания базиса касательных векторов, непрерывно зависящего от точки поверхности). В случае гиперповерхности ориентация может быть задана при помощи трансверсальной ориентации, т.е. посредством непрерывной ориентации нормалей к гиперповерхности, с одновременным заданием ориентации объемлющего пространства. Именно, гладкое нормальное векторное поле $\mathbf{n}$ определяет ориентацию гиперповерхности с касательным базисом $\tau_{1}, \ldots \tau_{n-1}$, если вектора $\mathbf{n},\tau_{1},\ldots \tau_{n-1}$ определяют ориентацию $\mathbb{R}^{n}$.

Интеграл от $n$-формы $\omega=f\Omega$ по множеству $D$ в стандартно ориентированном пространстве $\mathbb{R}^{n}$ с формой объема $\Omega=dx_{1}\wedge\ldots \wedge dx_{n}$ определяется равенством

$$\int\limits_{D}\omega= \int\limits_{D}f= \int\limits_{D}f (x_{1},\ldots x_{n})\, dx_{1}\ldots dx_{n}\,.$$

При изменении ориентации ( $\Omega\to-\Omega$) интеграл меняет знак.

Интеграл от $k$-формы $\omega$ по ориентированной $k$-мерной поверхности $\Gamma$ с параметризацией $\theta:\; \mathbb{R}^{k}\to \mathbb{R}^{n}$ определяется равенством

$$\int\limits_{\Gamma}\omega= \int\limits_{D}\theta^{*}\omega\,, \qquad \Gamma=\theta (D)\,.$$

Интеграл от формы $\imath_{ \mathbf{F}}\Omega$ по гиперповерхности $\Gamma$ называется потоком вектора $\mathbf{F}$ через поверхности $\Gamma$. В трехмерном случае

$$\iint\limits_{\Gamma}\imath_{\mathbf{F}}\Omega= \iint\limits_{\Ga... ...bol{dS}=\iint\limits_{\Gamma} P\,dy\wedge dz+ Q\,dz\wedge dx+ R\,dx\wedge dy\,,$$

где $\mathbf{F}= (P,Q,R),\; \boldsymbol{dS}= (dy\wedge dz,dz\wedge dx, dx\wedge dy)$. Равенство

$$\iint\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dS}= \iint\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS\,,$$

где $\mathbf{n}$ — вектор единичной нормали, согласованный с ориентацией поверхности $\Gamma$, устанавливает связь поверхностных интегралов 2-го и 1-го родов.

Физический смысл интеграла

$$\iint\limits_{\Gamma} \mathbf{v}\cdot \boldsymbol{dS}$$

— количество жидкости, протекающей через $\Gamma$ со скоростью $\mathbf{v}$ в единицу времени.