Задача

Найти циркуляцию поля $\mathbf{F}=xy\vec i+yz\vec j+xz\vec k$ на контуре $\Gamma$

$\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,,\quad x+y+z=1\,,$    

положительно ориентированном на верхней стороне плоскости.

Доказательство. Параметризация, согласованная с требуемой ориентацией имеет, например, вид

$\displaystyle x=\cos\varphi\,,\quad y=\sin\varphi\,,\quad z=1-\cos\varphi-\sin\varphi\,,
\qquad \varphi\in[0,2\pi].$    

Тогда

\begin{multline*}
\int\limits_{\Gamma}xy\,dx+yz\,dy+xz\,dz=
\int\limits_{0}^{2\p...
...in\varphi)\cdot (\sin\varphi-\cos\varphi)]\,d\varphi\\
=-\pi\,.
\end{multline*}

$\qedsymbol$