Теоретический материал

Пусть $\Gamma$ — ориентированная кривая в $\mathbb{R}^{n}$ с параметризацией $\gamma (t)\,,\;t\in[a,b]$. Соответствующий единичный касательный вектор обозначим через $\tau$. Пусть $\mathbf{F}$ — векторное поле, определенное в точках кривой $\Gamma$. Криволинейный интеграл 1 рода вида

$$\int\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot \tau\,dl,$$

где $\mathbf{F}\cdot \tau$ — стандартное скалярное произведение векторов в $\mathbb{R}^{n}$, называют криволинейным интегралом 2 рода. Ввиду $\tau\cdot\vert\gamma'\vert=\gamma'$,

$$\int\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot\tau\,dl= \int\limits_{a}^{b}... ...{a}^{b}\sum_{i=1}^{n}F_{i} (x_{1} (t),\ldots x_{n} (t)) \cdot x_{i}' (t)\,dt\,,$$

где $\mathbf{F}= (F_{1},\ldots F_{n})$ и $\gamma= (x_{1},\ldots x_{n})$. Последний интеграл записывают кратко как

$$\int\limits_{\Gamma}\sum_{i=1}^{n}F_{i}\,dx_{i}= \int\limits_{\Ga... ...bf{F}\cdot \boldsymbol{dl}\,, \qquad \boldsymbol{dl}= (dx_{1},\ldots dx_{n})\,,$$

и называют интегралом от 1-формы $\omega=\sum F_{i}\,dx_{i}$ по кривой $\Gamma$. Равенство

$$\int\limits_{ \Gamma} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dl}= \int\limits_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot\tau\,dl$$

характеризуют как связь криволинейных интегралов 2-го и 1-го рода. Интеграл 2-го рода зависит от ориентации кривой: при смене ориентации ( $\tau\to-\tau$) он меняет знак. При фиксированной ориентации интеграл 2-го рода от параметризации не зависит.

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода

$$\int\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dl}$$

— работа силы $\mathbf{F}$ при перемещении вдоль пути $\Gamma$. Интеграл по замкнутой кривой обозначают через

$$\oint\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dl}$$

и называют циркуляцией поля $\mathbf{F}$ по ориентированной кривой $\Gamma$.