Задача

Проверить, что форма $\omega=2z\,dy\wedge dz-x\,dz\wedge dx+xy\,dx\wedge dy$ замкнута и найти ее потенциал.

Доказательство. Замкнутость очевидна:

$$d\omega=2\,dz\wedge dy\wedge dz-dx\wedge dz\wedge dx+ y\,dx\wedge dx\wedge dy+ x\,dy\wedge dx\wedge dy=0\,.$$

Потенциал найдем по формуле Пуанкаре

$$\begin{multline*} \alpha= \int\limits_{0}^{1}dt\,t [2tz (y\,dz-z\,dy)-tx (z\,dx-... ...igr)\,dy+\Bigl( \frac{1}{3}\,x^{2}+ \frac{2}{3}\,yz\Bigr)\,dz\,. \end{multline*}$$

$\qedsymbol$