Формы и их внешнее произведение

Внешняя $k$-форма в $\mathbb{R}^{n}$ это функция $k$ векторных аргументов $\mathbf{h}_{1},\ldots \mathbf{h}_{k}$, линейно зависящая от каждого аргумента и антисимметричная. Последнее означает, что $k$-форма обращается в ноль всякий раз, когда какие-либо два ее аргумента совпадают. В условиях полилинейности это означает, что $k$-форма меняет знак при перестановке местами двух аргументов. Множество внешних $k$-форм образует линейное пространство с базисом из форм

$$dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge\ldots\wedge dx_{i_{k}}\,, \qquad i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\,.$$

Последние определяются равенствами

$$dx_{i_{1}}\wedge \ldots\wedge dx_{i_{k}} ( \mathbf{e}_{j_{1}}... ...случаях при }\quad j_{1}<\ldots <j_{k}\,, \end{cases}$$

где $( \mathbf{e}_{1},\ldots \mathbf{e}_{n})$ — базис в $\mathbb{R}^{n}$. Дифференциальные $k$-формы это функции точки $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$, принимающие значения в пространстве внешних $k$-форм. Таким образом, дифференциальная $k$-форма $\omega$ это внешняя форма

$$\omega= \sum_{i_{1}<\ldots <i_{k}} f_{i_{1}\ldots i_{k}} \, dx_{i_{1}}\wedge \ldots\wedge dx_{i_{k}}$$

с функциональными коэффициентами $f_{i_{1}\ldots i_{k}}$, зависящими от $\mathbf{x}$. Если $\alpha_{1}\,,\ldots \alpha_{k}$ — 1-формы, через $\alpha_{1}\wedge\ldots\wedge \alpha_{k}$ обозначается $k$-форма, определенная равенством

$$\alpha_{1}\wedge\ldots\wedge\alpha_{k} ( \mathbf{h}_{1},\ldots \mathbf{h}_{k})= \det (\alpha_{i} ( \mathbf{h}_{j}))\,.$$

Такие формы называются мономами. По определению полагают

$$(\alpha_{1}\wedge\ldots\wedge\alpha_{k})\wedge (\beta_{1}\wedge\l... ..._{1}\wedge\ldots \wedge\alpha_{k}\wedge\beta_{1}\wedge\ldots \wedge\beta_{m}\,.$$

По линейности операция внешнего произведения $\wedge$ распространяется на произвольные формы, при этом

$$\alpha\wedge\beta= (-1)^{km}\beta\wedge\alpha\,,$$

где $\alpha$ и $\beta$, соответственно, $k$ и $m$-формы.