Задача

Найти статический момент части цилиндра $x^{2}+y^{2}=2Ry$, лежащей между плоскостями $z=0$ и $z=c$, относительно плоскости $xz$, если плотность $\rho=x+z$.

Доказательство. Обозначим поверхность через $\Gamma$, а искомый момент через $M$. Параметризуем поверхность при помощи равенств

$$x=R\cos\varphi\,,\quad y=R+R\sin\varphi\,, \quad z=z\,, \quad \varphi\in [0,2\pi),\quad z\in[0,c]\,.$$

Тогда

$$E =\left( \frac{\partial x}{\partial\varphi} \right)^{2}+ \left( \f... ...hi} \right)^{2}+ \left( \frac{\partial z}{\partial\varphi} \right)^{2}=R^{2}\,,$$

$$F = \frac{\partial x}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial x}{\part... ... z}+ \frac{\partial z}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial z}{\partial z}=0\,,$$

$$G = \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)^{2}+ \left(\frac{\... ...}{\partial z} \right)^{2}+ \left(\frac{\partial z}{\partial z} \right)^{2}=1\,,$$

откуда

$$\begin{multline*} M= \iint\limits_{\Gamma}y (x+z)\,dS= \iint\limits_{[0,2\pi]\ti... ...c\cos\varphi+ \frac{c^{2}}{2}\Bigr)\,d\varphi= \pi R^{2}c^{2}\,. \end{multline*}$$

$\qedsymbol$